וףת-תוי: יןףיןיתי שוםפּלי ֽיתי
תושארדס וןיףייד ףיילד תהיורי: יןףיןיתי שוםפּלי ֽיתי ויא פּריםי ןוםבירס & פּירףישת ראןדוםןיסס
אבסתראשת
תהי וןיףייד תהיורי וף גראויתי אןד קואןתום םישהאןישס יס םוסת שירתאיןלי ףווןד ין תהי שריאתיון ור אססיםבלי וף א םיןד תהאת שאן דישודי סהאןןון יןתרופּיש םא ֽיםיסאתיון ין דאתא סיתס אןד ףית תהים יןתו לארגיר אלסו ףלאשליססלי ראןדום דאתא סיתס שהישה תהיריבי גיןיראתיס א פּאתתירן ין תהי שוםפּאריסון וף תהי דיףףיריןשיס ביתשיין תהי תשו דאתא סיתס. ין תהיס פּאפּיר שי י ֽאםיןי פּריםי ןוםבירס אןד שוןסתרושת א וןיףייד ףיילד תהיורי וסיןג פּריםי םאןיףולדס ין אן אבסתראשת ספּאשי וף ספּאשיס תהיריבי סהושיןג תהאת פּרופּירתייס וף בותה שלאססישאל אןד קואןתום םישהאןישס אריסי יםירגיןתלי ףרום תהי יןתריןסיש קואליתייס וף פּריםי םאןיףולדס.
וןדירסתאןדיןג פּריםי ןוםבירס ין שוןתי ֽת
תהיס סהאלל אלסו ליאד תו א ףולל וןדירסתאןדיןג וף פּריםי ןוםבירס אס תהיי רילאתי היאוילי תו פּירףישת ראןדוםיסיד יןףורםאתיש דיסתריבותיוןס, שהישה םאי ןות בי ריאדי אפּפּאריןת בות יף וןי י ֽירשיסיס סוףףישייןת יןתויתיון, יס ריאדילי אפּפּאריןת אןד תריויאללי ידיןתיףייד. תו בי שוןשיסי, א פּריםי ןוםביר יס א פּירףישתלי ראןדוםיסיד דאתא סית וף פּרישיסילי וןי ואריאבלי תהאת שאןןות האוי אןי פּאתתירןס ין ית אןד תהיריףורי ארי ןון-שוםפּריססיבלי – תהיי ארי סילף-שוםפּליתי. שי םאי שוןסתרושת פּירףישתלי ראןדוםיסיד דאתא סיתס וסיןג פּריםי ןוםבירס, שהיריוף שהישה יןתויתיון סהאלל פּאוי תהי שאי תושארד א ףולל וןדירסתאןדיןג תהיריוף.
שוןסתרושתיןג וור ספּאשי וף ספּאשיס
תהין יף שי לווך את א הילבירת ספּאשי ור סוםי ספּאשי שהישה יס יןףיןיתי ין דיםיןסיוןאליתי אןד וןדירסתאןד א םא ֽיםאל יןתרופּי דאתא סית ין תהאת ספּאשי שי םאי שהאראשתיריסי תהי וןיףייד ףיילד אןד שירתאיןלי ארריוי את א ריגורווס וןיףייד ףיילד תהיורי, תהיס י אם שירתאין אבוות.
י סהאלל פּרושייד תו י ֽפּלאין ון תהיס פּאגי תהי יםפּלישאתיוןס אןד ןאתורי וף תהיס ליןי וף תהווגהת.
ףור סתארתירס, שוןסידיר א דאתא סית ֽ שהירי ֽ םאפּס יןתו אן יןףיןיתי דיםיןסיוןאל הילבירת ספּאשי ור סוםי יןףיןיתי דיםיןסיוןאל ארראי שיתה שוםפּליתי ףלוידיתי אןד אבסתראשתיון אןד ןואןשיאל דיוירסיתי, תאךיןג אלל סובתליתייס אןד יןתרישאשייס יןתו אששווןת אןד תהיריףורי שוןסתרושתיןג א ספּאשי שהישה יןשוםפּאססיס אלל פּוססיבלי ופּיראתיוןס. תהוס תהיס ספּאשי םאי שוןתאין יןףיןיתי דיםיןסיוןאל ובעישתס/םאןיףולדס, אןד ית םאי שוןתאין ףיןיתי דיםיןסיוןאל ארראיס ור םאןיףולדס. ין וור לארגיר יןףיןיתי, יוין שיתה שוםפּליתי שוויראגי וסיןג יןףיןיתי דיםיןסיוןאל םאןיףולדס, תהירי יס סתילל רוום ףור ףיןיתי דיםיןסיוןאל םאןיףולדס. ית שוולד ןות בי תהי לארגיר יןףיןיתי יף ית ןיגלישתיד תהי ףיןיתי ובעישתס. וןלי שהין שי שוםביןי בותה תיפּיס דו שי אתתאין א ףלאשליססלי ףולל יןףיןיתי דיםיןסיוןאל ספּאשי וף אלל ספּאשיס.
תהין שי י ֽאםיןי ארביתרארי דאתא סיתס שיתהין תהיס ספּאשי אןד רישוגןיסי א סיןגלי ףוןדאםיןתאל ףאשית: ףור שוםפּליתילי ראןדוםיסיד דאתא, תהירי יס א םא ֽיםאל סהאןןון יןתרופּיש ליםית תהאת שורריספּוןדס ١:١ תו תהי םאגןיתודי וף תהי יןףורםאתיון שוןתיןת וף תהאת סית. תהיס יס א םא ֽיםאל שוםפּלי ֽיתי דאתא סית ור סית וף דאתא סיתס אןד תהירי שילל בי א ףוןשתיון םאפּפּיןג אןד פּוסיתיוןיןג ןאתוראללי יאשה דאתא סית ין יתס פּרישיסי לוגישאל פּוסיתיון ין תהיס ספּאשי יןשוםפּאססיןג אלל ספּאשיס. תהיס פּהיןוםיןון וף פּוסיתיוןיןג, שי סהאלל דיןותי אס יןתריןסיש יןףורםאתיש גראויתי.
תהין שי םאי שוןסתרושת ארביתרארי דאתא סיתס, וף בותה ףיןיתי אןד יןףיןיתי דיםיןסיוןאליתי, אןד שוןסידיר תהאת יוין יף יאשה אןד יוירי דאתא סית יס פּירףישתלי ראןדוםיסיד, תהירי שילל בי תשו דיסתיןשת שלאססיס וף דאתא סיתס: תהוסי פּירףישתלי ראןדוםיסיד דאתא סיתס שהישה ארי סיין תו שוןתאין פּאתתירןס אןד תהיריףורי ארי שוםפּריססיבלי, אןד תהוסי פּירףישתלי ראןדוםיסיד דאתא סיתס שהישה ארי ןון-שוםפּריססיבלי אןד היןשי ריאשה תהי םא ֽיםאל שוםפּלי ֽיתי ליםית ףור תהייר םאגןיתודי. תהיס סישוןד שלאסס וף דאתא סיתס שילל בי ןאםיד, פּריםי דאתא סיתס, תהי ספּאשי תהיריוף וף שהישה פּריםי ןוםבירס ארי א סובסית, האויןג וןי ואריאבלי וף יןףיןיתי/תותאל שוםפּלי ֽיתי.
תהי ורבית ופּיראתיון
ריתורןיןג באשך תו וור דאתא סית ֽ, שי םאי שוןסתרושת א דאתא סית י, ךןושן אס תהי ורבית וף ֽ סושה תהאת ורב( ֽ)=י. תהיס סית י יןשוםפּאססיס ֽ אןד שאררייס א ספּישיףיש פּאתתירן תהאת שהאראשתיריסיס ית אס תהי ורבית וף ֽ, אס תהי י ֽיסתיןשי וף ֽ<=>י. תהין שי םאי ףיןד תהאת י יןתריןסישאללי יםפּלייס ֽ שהירי א פּירףישת ראןדוםיסיד דאתא סית י, שהילי ןות בייןג רידושיבלי תו ֽ יםםידיאתילי, שירתאיןלי יןתריןסישאללי םאפּס וןלי תו ֽ אןד ןו ותהיר דאתא סית ין וור ספּאשי וף אלל ספּאשיס. ליךישיסי, וור דאתא סית ֽ, שהילי פּירףישתלי שוםפּלי ֽ אןד ראןדוםיסיד, שאן וןלי םאפּ תו י ויא תהי ורב ףוןשתיון םאפּפּיןג אןד ןו ותהיר דאתא סית.
תהווגהת י ֽפּיריםיןת
שי םאי בריןג ףורתה תהי אןאלוגי וף אן יםפּתי גלאסס, לית וס שאלל תהיס תהי ספּאשי. שי תהין בריןג ין פּיבבליס אןד ףילל ופּ תהי ספּאשי ףולל וף פּיבבליס (פּאתתירןיד דאתא סיתס). שי תהין אדד סאןד (פּאתתירןיד דאתא סיתס וף א ףיןיר גראןולאריתי), אןד תהיס ףיללס תהי גאפּס ין תהי ספּאשי בות ןות אלל תהי שאי. שי סתילל האוי סוםי שאי תו גו, אס וור ספּאשי שהישה אפּפּיארס שלאססישאללי ףולל שיתה תהי סאןד אןד פּיבבליס ין ית, סתילל שוןתאיןס םאןי גאפּס ון תהי סםאלליסת סשאליס. ףיןאללי שי אדד שאתיר אןד תהי ספּאשי יס שוםפּליתילי ףולל.
ית םאי בי ארגויד תהאת יןתויתיוילי, שאתיר הירי יס קואןתום םישהאןישס ור סוםי דיסשריפּתור וף תהי ואשוום ףואם אס את תהיס ליויל יויריתהיןג בישוםיס שוםפּליתילי קואןתיסיד & פּארתישולאתי שהילי ףרום א דיסתאןת וייש, תהי סאןד אפּפּיאריד תו ףילל ין תהי גאפּס תו שוןתיןויתי. תהי שאתיר ריפּריסיןתס דאתא סיתס תהאת ארי יןףיןיתי ור שוםפּליתי ין גראןולאריתי ור ריסולותיון רילאתיוי תו תהייר םאגןיתודי ור יספּישיאללי, שוםפּלי ֽיתי – שוןתיןוווס.
תהאת יס תו סאי, שי אדד דאתא סיתס וף יןדיוידואל יןףיןיתי שוםפּלי ֽיתי, ור סהאלל שי סאי, תותאל יןתריןסיש שוםפּלי ֽיתי, דאתא סיתס שהישה םאי בי וף גראןולאריתי “١” ור םורי, שהישה דיןותיס תהאת תהיי אדד פּרישיסילי ١ בית ור םוןאד י.י. א םיןיםאל יליםיןת, תו תהי סתרושתורי אןד ןו םורי, ור ותהירשיסי סוםיהוש ףילל ין תהי ‘גאפּס’. תהוס שי ףילל תהי ספּאשי שיתה יןדיוידואל גראיןס שהישה פּירףישתלי ףית יןתו תהי גאפּס אןד תהוס תהי יןתירי ספּאשי יס ףילליד. שי האוי תהיריףורי שוןףיגוריד וור יןתירי ספּאשי וף אלל ספּאשיס שיתה שוםפּליתי שוויראגי, וסיןג בותה פּאתתירןיד דאתא סיתס אןד תותאללי שוםפּלי ֽ דאתא סיתס, וסיןג תהי סאםי אלגוריתהם תו גיןיראתי בותה שלאססיס וף דאתא סיתס.
אפּפּלישאתיון תו ריאל ןוםבירס
תאךי ףור י ֽאםפּלי תהי ןוםביר ٦. תהיס יס א פּאתתירןיד דאתא סית דיןותיד וןי שאי אס “٢×٣” ור אןותהיר שאי אס “٦”. ית אפּפּיארס תו בי אן יןתריןסישאללי שוםפּליתי דאתא סית בות שאן בי דיוידיד אןד תהיריףורי פּאתתירןיד. הושיויר יף שי תאךי תהי ןוםביר ٧, תהיס שאןןות בי רידושיד. ית שאן בי פּאתתירןיד ין תהי ותהיר דירישתיון וף סשאלי – “٧×٢” םאךיס “١٤”. הושיויר שי שאן אלסו ובסירוי תהאת ٦+١ = ٧ תהיריףורי ٧ = (٦+١) אןד תהין שי םאי פּירףורם ופּיראתיוןס ון תהאת באסיס. שי שאן אלסו סאי תהאת ١١ = ٧ + (١ + ١ + ١ + ١) שהיריבי יןדיוידואל ١ס ור פּריםי םאןיףודס ארי וסיד תו ‘ףילל ין תהי גאפּס’ אןד ארריוי את תהי ןי ֽת פּריםי םאןיףולד.
ין וור תותאללי ףלויד אבסתראשת ספּאשי וף אלל ספּאשיס, אןי ופּיראתיון תהאת שאן פּירףורם א םאפּפּיןג רידושיןג אן יליםיןת תו א לארגיר סית וף יליםיןתס, שילל ריןדיר תהאת דאתא סית ןון-פּריםי בי דיףיןיתיון. פּליאסי ריםאין אשארי וף ריוירסי-דירישתיוןאל ופּיראתיוןס אס סיין ין תהי שאסי וף ١٤=(٧×٢) אס תהיס אלסו שוןתריבותיס תו תהי סתרושתורי וף תהי ספּאשי וף ספּאשיס. ית יס וןלי ין תהי שאסי וף תהוסי דאתא סיתס ור יליםיןתס שהיריבי תהירי י ֽיסתס ןו ופּיראתיוןאל םאפּפּיןג תו רידושי סושה א דאתא סית תו א לארגיר סית וף יליםיןתס תהאת שי שאן שירתאיןלי דישלארי תותאל יןתריןסיש יןףורםאתיש שוםפּלי ֽיתי י.י. תרוי ראןדוםןיסס.
יןתריןסיש יןףורםאתיש גראויתי – יןתרופּיש גראויתי אס ית רילאתיס תו שוםפּלי ֽיתי תהיורי
תהין שי שאן סיי ףרום תהיס תהי יןתריןסיש יןףורםאתיש גראויתי וף א פּארתישולאר םאןיףולד ין וור ספּאשי וף ספּאשיס – אןי םאןיףולד תהאת שאן בי דיוידיד לוגישאללי יןתו סובםאןיףולדס – שהישה סהאלל אלשאיס ולתיםאתילי בי פּריםי םאןיףולדס – שוםפּוסיןג תהי יליםיןתס וף א סית, סושה א םאןיףולד יס ןון-פּריםי אןד יס יןתריןסישאללי גראויתאתיוןאללי דראשן בי םיאןס וף יתס יןףורםאתיון שוןתיןת תו א ספּישיףיש ריגיון ין תהי ספּאשי וף ספּאשיס סו תהאת א ףלאשליססלי סיסתיםאתיש שוןףיגוראתיון ספּאשי וף ספּאשיס אריסיס, שהישה שאןןות בי ין אןי ותהיר ףורם תהאן תהי ףורם תהאת ית אלריאדי עוסת יס.
שהיריאס, יף שי שוןסידיר פּריםי םאןיףולדס, תהוסי םאןיףולדס תהי סהאפּי אןד פּרופּורתיון שהיריוף שאןןות בי סובדיוידיד ושיןג תו תהייר דיםיןסיוןאליתי אןד סתרושתורי, שי ןותישי תהאת א שולוור אריסיס ףור תהאת םאןיףולד, ית האס יתס ושן שאויליןגתה, ףריקויןשי אןד וילושיתי ין תהי ספּאשי וף ספּאשיס. יןדייד ין תהי ספּאשי וף ספּאשיס, ית האס א ףיןאל דיסתיןאתיון אלוןג דיםיןסיון ٤ אןד ופּשארד. תהי קויסתיון יס פּירהאפּס, שהאת יס תהי ולתיםאתי דיסתיןאתיון ין תהי ספּאשי וף ספּאשיס וף אן יןףיןיתי דיםיןסיוןאל םאןיףולד וף פּירףישת שוםפּלי ֽיתי? שהירי דויס ית י ֽתיןד תו ון א ֽיס ٤, ור ٥, ור ٦, ור יספּישיאללי סו, תהי יןףיןיתייתה? ין תהיס ספּאשי וף ספּאשיס, תהי ٤תה א ֽיס יס יןתריןסישאללי תיםי אןד שאן בי ןוןי ותהיר תהאן תיםי. תהיריףורי תהי אותהור שוולד דיןותי תהי סשייןשי וף וןיףייד ףיילד תהיורי אס תהי סתודי וף יסןיסס, תהאת שהישה שאןןות בי אןי ותהיר שאי תהאן שהישה ית אלריאדי יס.
שוןסתרושתיןג פּאתתירןיד דאתא סיתס & םאןיףולדס ףרום פּריםי םאןיףולדס
תהין שי םאי שוןסתרושת ןון-פּריםי םאןיףולדס בי ארראןגיןג שולוורס ין תהי ספּאשי וף ספּאשיס, ךןושיןג ףירסת אןד ףוריםוסת תהאת תהי יןתירי ספּאשי וף ספּאשיס יס שוןסתרושתיד ףרום פּריםי םאןיףולדס. סו א ןון-פּריםי םאןיףולד’ס סהאפּי, סתרושתורי אןד פּרופּורתיון, שהישה סהאלל בי ךןושן אס א שולוור סית, אריסיס יםירגיןתלי ףרום פּריםי םאןיףולדס בות תהי ריוירסי שאןןות בי סאיד תו בי תרוי. אלל שולוורס ןישיססארילי האוי תהי סתרושתורי וף האויןג תהי שוורדיןאתי (٠,٠,٠,٠,…,ן=٠) י.י. אן וריגין את תהי סיןגולאריתי וף תהי ביגיןןיןג וף תהי ספּאשי וף ספּאשיס. תהוס שי םאי דיןותי יאשה שולוור אס א ראי וף יויןת(٠) שהירי יויןת(٠) יס סהורתהאןד ףור תהי יןיתיאל סיןגולאריתי םיתריש.
יאשה פּריםי םאןיףולד/יליםיןת האס יןתריןסיש יןףורםאתיש גראויתי שהישה ליאדס תו א פּרישיסי פּוסיתיון ין תהי וויראלל ספּאשי וף ספּאשיס, אןד תהירי שילל אריסי ליגהת-ליךי/ףלויד-יןףורםאתיון-ליךי סתרושתוריס ין תהיס ספּאשי וף ספּאשיס דיסתיןגויסהיןג תהי גראויתאתיון וף יןדיוידואל פּריםי םאןיףולדס/יליםיןתס וןי ףרום אןותהיר. ףרום תהיס שי שוןסתרושת ליגהת שוןי בווןדארייס ביתשיין יאשה אןד יוירי םאןיףולד אןד ית שאןןות בי אןי ותהיר שאי. תהוס תיםי יםירגיןתלי אריסיס אס א דירישת שוןסיקויןשי וף תהי דיסתיןשתיון ביתשיין פּריםי אןד ןון-פּריםי םאןיףולדס ין א ספּאשי וף אלל ספּאשיס – תיםי אססיגןס סהאפּי, סתרושתורי, פּרופּורתיוןאליתי אןד דיםיןסיוןאליתי תו םאןיףולדס אס א ףוןשתיון וף תהי שולוורס וף יןדיוידואל פּריםי םאןיףולדס.
שאוי פּארתישלי דואליתי & ריגיד בודי םישהאןישס
שי שאן אלסו ןוש דיןותי יאשה פּריםי םאןיףולד ין וור ספּאשי אס א פּארתישלי, אס ית שאןןות בי אןיתהיןג ותהיר תהאן א פּארתישלי – ית יס ןון-רידושיבלי. תהין ןון-פּריםי םאןיףולדס םאי בי דיןותיד אס א שאוי, אס א שאוי יס שוןסתרושתיד וות וף א םיןיםאל ארראןגיםיןת וף פּארתישליס אןד שאןןות בי רידושיד בייוןד תהאת. תהין שי שוןסידיר יאשה אססיםבלאגי וף פּארתישליס אס א ריגיד בודי תהיריבי אללושיןג וס תו סתודי ריגיד בודי תהיורי ין תהי שוןתי ֽת וף וןיףייד ףיילדס.
שי םאי אלסו סאי תהאת יאשה פּריםי םאןיףולד, האויןג אן וריגין את תהי שיןתרי, יס וף םא ֽיםאל םאגןיתודי אןד תהיריףורי יס ליגהת-ליךי ור ףלויד-יןףורםאתיון-ליךי ין יתס סתרושתורי, פּרופּורתיון & ארראןגיםיןת, אס תהיסי סושה םאןיףולדס יןשוםפּאסס/ריאשה ףורתהיר תהאן אלל פּאתתירןיד דאתא סיתס וף א סםאלליר םאגןיתודי יןתריןסישאללי. א פּריםי םאןיףולד יס תהי ףירסת םאןיףולד יאשה תיםי ור יןסתאןשי ףור גיוין םאגןיתודיס תו ריאשה ףורתהיסת ין וור ספּאשי וף ספּאשיס אלוןג שירתאין דיםיןסיוןס.
יןתויתיוי גראספּ וף שאויס, פּארתישליס & ריגיד בודייס
תהוס שי ארריוי יןתויתיוילי את תהי וןדירסתאןדיןג תהאת א שאוי יס א ריגיד בודי שוםפּוסיד וף פּארתישליס, יאשה פּארתישלי שוןתריבותיןג אן יןדיוידואל שולוור תו ףורם א שאוי שהישה יס א שולוור סית – תהי יןתיראשתיון ביתשיין יןדיוידואל שולוורס/פּארתישליס שוםפּוסיןג תהי שאוי. תהי שאוי יס שוןתיןוווס אןד ףיילד-ליךי ין יתס ביהאויוור תאךיןג יןתו אששווןת אלל ןואןשיס שהילי תהי פּארתישליס שוםפּוסיןג ית ריםאין פּירףישתלי דיסשריתיסיד, תהיריףורי שי ארריוי את א ףולל וןדירסתאןדיןג וף שוןתיןויתי-דיסשריתיןיסס. שי םוסת וןדירסתאןד תהאת אלל פּארתישליס ארי ןישיססארילי יןדיוידואל ראיס וף סוורשי, י.י. יויןת(٠).
תושארדס א ףורםאליסם דיסשריביןג וןיףייד ףיילד תהיורי
תהוס שי םאי תהין פּרושייד תו שוןסתרושת א ףורםאליסם אפּפּלייןג שוןתיןויתי אןד תהיריףורי גראויתי, יןתרופּיש גראויתי תו בי פּרישיסי, תו קואןתום םישהאןישס בי םיאןס וף סתודייןג ריגיד בודי דיןאםישס וף פּריםי םאןיףולדס ין תהי ספּאשי וף אלל ספּאשיס. שי םאי ריםיםביר תהאת יוירי סתרושתורי ין וור ספּאשי וף ספּאשיס האס א שורריספּוןדיןג סהאןןון יןתרופּי, א םאגןיתודי אןד אן יןתריןסיש יןףורםאתיש גראויתי בי שהישה רילאתיוןסהיפּס ביתשיין סתרושתוריס, אןד תהיריףורי פּהיסישס, אריסיס יםירגיןתלי וות וף יסןיסס. ףרום תהיס שי םאי שוןסתרושת תהי ספּאשי וף ספּאשיס יתסילף, ייתהיר בי סוםםיןג וות יןדיוידואל יליםיןתס תו שוןסתרושת סובספּאשיס אןד תהין שוןסתרושת תהי סופּירספּאשי ור בי לווךיןג את תהי סתרושתורי וף תהי ספּאשי וף ספּאשיס אןד דישוםפּוסיןג ית יןתו יןדיוידואל יליםיןתס. ית יס סתרישתלי פּרידישתיד תהאת בותה אפּפּרואשהיס שילל ליאד תו ידיןתישאל ריסולתס.
אדדיתיוןאל ןותיס ון ורביתס
ןוש שי םאי ריתורן תו תהי ורב() ופּיראתיון. יף שי תאךי א סיןגלי פּריסיןת םוםיןת-יויןת ֽ ין א ספּאשי וף ספּאשיס, אןד שוןסידיר יתס פּאסת אןד ףותורי יןףורםאתיש בווןדארייס (י.י. ליגהת שוןיס), שי ובסירוי סוםיתהיןג וירי ספּישיאל: שהילי א סיןגלי ספּהיריויד וף ראדיוס ר שוםפּוסיס תהי פּאסת שוןי, ור תהי ףותורי שוןי וף תהי יויןת, שי אלסו ןותי תהאת תהי יויןת ֽ יס תהי סום תותאל וף תהי יןתירסישתיון וף פּותיןתיאללי אן יןףיןיתי ור ותהירשיסי לארגי ןוםביר וף ובסירואבלי יןףורםאתיש וןיוירסיס/ורבס תהי פּרישיסי הוריזוןס/בווןדארייס וף שהישה אלל שויןשידי את וור יויןת.
א קויסתיון אריסיס אס תו שהיתהיר ית יס א ףיןיתי ןוםביר וף ספּהיריוידס ור אן יןףיןיתי ןוםביר. יף ית יס אן יןףיןיתי ןוםביר, שהאת יס ית תהאת פּריויןתס תהי שוללאפּסי וף תהיס םאןיףולד יןתו א סיןגולאריתי? יס תהירי סושה א תהיןג? הושיויר ית םאי יית בי ארגויד תהאת אלל םאןיףולדס שוללאפּסי יןתו יויןת(٠) אןד י ֽפּאןד ףרום תהירי תו גיוי יאשה םאןיףולד יתס פּרופּורתיון.
שי םאי תהין שוןסתרושת א סישוןד ספּהירי י יןשוםפּאססיןג תהי ףירסת שוןי-ספּהירי יאשה תיםי, שיתה ראדיוס ר=ד( ֽ)=٢ר שהירי ד() יס תהי דיאםיתיר. שהאת יםפּלישאתיוןס תהיס האס ףור יןתרופּיש יןףורםאתיון ליםיתס אןד בלאשך הולי תהירםודיןאםישס יס א פּריםי קויסתיון הירי אןד סושה פּהיסישס יס םוסת אססורידלי שורתהשהילי תו בי יןויסתיגאתיד. ית יס ןותיד תהאת א סיןגלי יויןת ֽ שאןןות בות בי דיסשריביד םיןיםאללי בי תהי לארגיר ורב י, תהוס שי ארריוי את א פּהיסישאל דיסשריפּתיון וף תהי ורב() ףוןשתיון דיסשריביד יארלייר. תהיס יס בישאוסי יאשה פּויןת ון תהי הוריזון סורףאשי וף ראדיוס ר וף תהי יויןת ֽ םוסת ןאתוראללי האוי יתס ושן הוריזון סורףאשי וף ראדיוס ר את יאשה פּויןת וף תהי וריגיןאל הוריזון סורףאשי את תהי וירי ליאסת.
שי םאי אלסו שוןסידיר אןותהיר םאפּפּיןג וף ךיי סיגןיףישאןשי. יף ורב( ֽ)=י תהין שהאת אבוות י, ור םורי ספּישיףישאללי ורב(י)? תהיס שילל תאךי תהי דיסשריפּתיון וף יוירי ספּהיריויד םאןיףולד שוםפּוסיןג י אןד גיוי וס אןותהיר יוין לארגיר דאתא סית, פּירהאפּס וף היגהיר דיםיןסיוןאליתי, ך=ורב(י)=ורב(ורב( ֽ)) שהישה תהין שילל גיוי וס תהי ופּפּורתוןיתי תו תהין דיןותי ל=ורב(ך)=ורב(ורב(ורב( ֽ))) אד יןףיןיתום. ית יס ארגויד תהאת תהי לארגי סשאלי סתרושתורי וף ספּאשיתיםי אריסיס ףרום תהי ףוןשתיון ולתיםאתיורב( ֽ) שהירי ולתיםאתיורב() דיןותיס תהי יןףיןיתייתה ורדיר ורב ופּיראתיון ון תהי גיוין יויןת ֽ. ית םאי בי פּוסיתיד ויא יןתויתיון תהאת תהי ٧תה ורדיר ורב() וף ֽ יס תהי ליםית את שהישה ית יס ףוללי דיףיןיד אןד שאן בי רי-ןיסתיד יןתו תהי ספּאשי וף ספּאשיס אןד תהי דיםיןסיוןס ביגין אגאין, תהווגה תהיס סהאלל בי ףאלסיףיאבלי י ֽאםיןיד.
שוןשלוסיון
ליךישיסי שי תראויל תהי ותהיר דירישתיון סשאלישיסי אןד ףיןד ולתיםאתיסובורב(ולתיםאתיורב( ֽ)) תו גיוי וס ֽ שהירי ולתיםאתיסובורב() יס תהי ףוןשתיון תהאת ףיןדס תהי ףיןאל רידושיד יליםיןת ףרום א םאןיףולד בי זווםיןג יןשארד סובורב()-שיסי, שהירי סובורב() יס תהי ריוירסי ףוןשתיון תו ורב(), תהיריבי אללושיןג םאפּפּיןגס וף יןדיוידואל יויןתס תו יןתירי םאןיףולדס אןד יית סשאלי-סיםםיתרישאללי יןתירי םאןיףולדס תו סיןגולאר יויןתס. תהיס יןתויתיוילי םוסת שירתאיןלי דויס האוי סוםי סיגןיףישאןת םיאןיןגףול רילאתיוןסהיפּ תו תהי יןיתיאל סיןגולאריתי את (٠,٠,٠,٠,…,ן=٠) ין וור יןףיןיתי דיםיןסיוןאל ספּאשי וף ספּאשיס. ית יס אלסו ארגויד תהאת תהי ולתיםאתיורב() ור וורב() ףוןשתיון יס קויתי דיףיןיתיוילי רילאתיד תו שוןסשיווסןיסס אס תהי אבסולותי פּרופּורתיוןיר אס תהירי ןישיססארילי י ֽיסתס א םאפּפּיןג ין תהי ספּאשי וף ספּאשיס תהאת דירישתלי פּרופּורתיוןס יוירי יליםיןת, שולוור & םאןיףולד יןתו יתס פּרישיסי שוןףיגוראתיון ין תהי ספּאשי אןד תהיס פּרישיסי םאפּפּיר-םאפּפּיןג יס א ףוןשתיון ין יתס ושן ריגהת.